二次曲面的介绍

在欧氏三维空间里坐标x,y,z之间的二次方程（系数为实数，且二次项系数不全为零）所表示的曲面。一般说来，直线与二次曲面相交于两个点；如果相交于三个点以上，那么此直线全部在曲面上。这时称此直线为曲面的母线。如果二次曲面被平行平面所截，其截线是二次曲线。二次曲面的方程为：
曲面F(x,y,z)=0上适合 的点(x0,y0,z0)称为奇异点或奇点，其他点称为寻常点。过曲面的寻常点所作的切线构成一个平面，称为该点的切面。通过该点且与切面垂直的直线称为法线。F(x,y,z)=0于寻常点 (x0,y0,z0)处的切面与法线方程分别是与分类二次曲面上不在同一母线上任何两点所联的线段称为弦，对于二次曲面F(x,y,z)=0,如果一条直线的方向余弦l,m,n，若适合右式
则此直线所对应的方向称为曲面的奇异方向，否则称为寻常方向。
二次曲面的一组具有寻常方向的平行弦中点在同一平面上。这个平面称为该方向的径平面。此方向称为径平面的共轭方向。F(x,y,z)=0的以方向余弦l,m,n为共轭方向的径平面方程为 下式：关于径平面，当方向余弦l,m,n变动时,无数多的径平面形成一个平面族,方程是l(αx+hy+gz+u)+m(hx+by+ƒz+υ)+n(gx+ƒy+сz+w)=0。方程组的解称为一般二次曲面F(x,y,z)=0的中心。如果中心位于二次曲面上，则称为顶点。中心的几何意义是：二次曲面的通过中心的任何弦都以中心为中点。
二次曲面有如x2+y2+z2+1=0这样的空集情况。
方程形如(8)、(10)、(11)、(2)、(3)的曲面，分别称为椭圆面，单叶双曲面，双叶双曲面，椭圆柱面或椭圆柱，双曲柱面或双曲柱；
对于(8)、(10)、(11)、(1)当α=b时,这些曲面是以z轴为旋转轴的旋转曲面,把它们分别称为旋转椭圆面，旋转单叶双曲面，旋转双叶双曲面，圆柱面或圆柱。对于旋转椭圆面，当α=b=с时，曲面成为以α为半径的球面。
在方程(9)，(12)，(4)的情况，曲面分别称为椭圆抛物面，双曲抛物面，抛物柱面或抛物柱；对于(9)，当α=b时，曲面成为以z轴为旋转轴的旋转椭圆抛物面（见彩图）。 二次曲面(6)的曲面是二阶锥面，当a、b、c异号时,可以认为a>0,b>0,c=-1，曲面称为实锥面，且当a=b时，曲面称为直圆锥面。它是以z轴为旋转轴的旋转曲面；在方程(6)当a、b、c同号时,曲面变成点O，也称为虚锥面；(2),(3)……(13)称为这些曲面方程的标准型(标准型的α，b，с与(1)中的α，b，с不同)。
此外还有二次曲面的空集情况与另一个特殊情况，它们是虚椭圆面、虚椭圆柱面；对于(16)，曲面成为一对相交虚平面（交线为实直线）；对于(17)，曲面成为一对平行虚平面。因此共有17种情况。
这17种情况,可以根据方程组(见下式)
的系数矩阵与增广矩阵的秩数 rank M 与 rank分类，由于rank M≤3，≤3，rank M≤rank,故知仅有五种情况(表1)。
对于曲面(8)，(11)，(10)来说，平面x=0,y=0,z=0;以及对于曲面(3)，(4)来说，平面x=0,y=0,分别称为曲面的主平面，主平面的交线称为主轴。对于旋转曲面来说，主平面及主轴的位置是不定的。标准方程中的α，b,с称为半主轴的长度或半主轴。在单叶双曲面或双曲抛物面上分别存在两族母线，同族的二母线不相交（也不平行），不同族的二母线必相交，即对于(11)，其上有以λ及μ为参数的母线族对于(4)，其上有母线族能用直线生成的曲面称为直纹曲面，二次曲面中只有单叶双曲面和双曲抛物面是具有两族母线的直纹曲面。二次柱面和二次锥面是具有一族母线的直纹曲面。而旋转单叶双曲面、圆柱面和直圆锥面既是直纹曲面又是旋转曲面。