已知0<α,β<π⼀2,且cosα+cosβ-cos(α+β)=3⼀2,求证α=β=π⼀3

cosα+cosβ-cos(α+β)=3/2，
左边= 2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2] - cos(α+β)
令(α+β)/2=x， (α-β)/2=y，则 α+β=2x
所以 左边=2cos x cos y - cos(2x) = 2cos x cos y - 2(cos x)^2 +1
所以 有 2cos x cos y - 2(cos x)^2 = 1/2,
但 2cos x cos y - 2(cos x)^2= -2[cos x - (cos y) /2] ^2 + (cos y) ^2 / 2
所以 -2[cos x - (cos y) /2] ^2 + (cos y) ^2 / 2 =1/2
注意 -2[cos x - (cos y) /2] ^2 <=0, 而 (cos y) ^2 <= 1,
所以 -2[cos x - (cos y) /2] ^2 + (cos y) ^2 / 2 <= 1/2
所以 最大值被达到， cos x - (cos y) /2 = 0， cos y =1
即 cos x = 1/2, cos y =1,
而 0<α,β<π/2， 所以 0所以 x = π/3， y=0
最后 α=β=π/3