您好！康托尔等数学大师于20世纪初对无穷集合进行了深入探索，创立了一套精深的集合论基础理论。无穷集合之间是可以比较大小的，比如实数集的元素“数量”就多于自然数集的元素“数量”。请让我带您来仔细观察这个问题吧。首先，您问的是无穷集合是否存在大小。我帮您将问题具体化、通俗化一下。假设我们已知两个集合是什么样的集合，而且两个都是无穷集合，我们能否说其中一个集合比另一个大呢？这样一来，这个问题就明了了很多。问题的关键，就在于我们对大小的定义。
“一个事物比另一个事物大”，这句话谁都可以说，只要他能开口讲话。如果您愿意，您就当然可以说出这样一句话。但是，我们不仅想说出这样一句话，还希望我们说出的话有清楚的意义，而不是“~!@#$%^&*”这种不能清楚表述意思的话。不仅要清楚表述意思，而且要是一个陈述、一个论断，而不是祈使句。不仅要是论断，而且要是对的，而不是错误的。我们现在要做的工作，就是让这样一句话，即一串汉字、字母等组成的符号，富有意义，而且是对的。所以我们希望做到的，就是让这句话指向现实世界或者数学世界中真实存在的事实。也就是说，将一件事实作为这句话的意义。
两只苹果给了我们不同的视觉刺激，为了描述我们眼睛看到的事实，我们讲出了“一个苹果比另一个大”这句话。两位政治人物给了人不同的威慑，所以容嬷嬷才会对香妃说出“老佛爷可比皇上还大”的话，把她感受到的政治威慑差异这种现象，作为这句话的意义。
现在，我们有两个无穷集合。它们身上发生了哪些事情，能否把某一个现象作为“一个集合大于另一个集合”这句话的意义呢？
当然是可以的，而且方式多种多样。但是，并不是每一种大小的定义都是我们喜欢的。我们希望它与有穷情形一致。为此，我们先来看有穷集合。
有两个有穷集合，{2}和{5,6,7}，假如，注意，我说假如，您要说第二个集合比第一个大，我就问您，为什么这么说？您可能会说，第二个集合的元素比第一个的多。我又要问了，为什么说第二个的元素多呢？您可能会说，哪来这么多为什么，多就是多，我眼睛看到了。我暂时不跟你说，第一个集合的元素能与第二个集合真子集的元素一一对应。因为说了会被您骂的。您可能会指责我，这种事情眼睛看就行了，还玩什么一一对应。
现在，我换两个集合。一个是一个学校学生的集合，一个是同一个学校学生生日的集合。我问，哪一个集合大？这次，用眼睛看不出来了，不用我说，您也大概会采用一一对应的方法，告诉我学生的集合比较大，除非每两个学生的生日都不同。
然后，我们容易发现，这种一一对应的办法，对有限集合普遍适用；用眼睛看的方法，不是普遍适用的。现在如果我再问您，一个集合的元素怎样才算比另一个集合多，假如我强词夺理的说生日比学生多，你怎样反驳我？为了反驳我，你就被迫要把“多”这个概念解释得更清楚。于是，您可能会说，学生的一部分可以和生日一一对应。只要存在俩学生生日相同，我们就能得到学生比生日多。
于是，对“有穷集合A比有穷集合B小”这句话，我们可以发现，赋予如下意义是合适的：集合A的元素能与集合B的真子集的元素一一对应。
在推广到无穷之前，我们看一下这种有穷集合之间大小、多少关系的一些性质。一个是传递性。有穷集合A,B,C, 假如A比B小，B比C小，易证A比C小。一个是三歧性，即A
取A为正偶数集，B为正整数集。我们看得出，假如按照上面的做法，有A比B小。但同时，令A的2与B的1对应，A的4与B的2对应，A的6与B的3对应，以此类推，我们发现A和B一样大。令A的2与B的20对应，A的4与B的40对应，A的6与B的60对应，我们发现A比B大了。对于有穷集合，三者只有一个成立。对于无穷集合，可能出现这种三个都成立的情况。
对于这种现象，难道放任自流吗？有些人也许甘心了，随便它了，三个都成立又没有什么大不了。但另外一些人也许不满足，就开始琢磨，怎样赋予意义，能防止三歧性被破坏呢？
我们动一下脑筋，可以发现，稍加修改，三歧性就不会被破坏了。
在这里，这两种人，没有谁对谁错，只是各自定义的方式不同，两者用同一串文字语言来指代不同的数学现象而已。
言归正传。怎么修改呢？“无穷集合A比无穷集合B小”，我们为这句话赋予如下的意义：
A的元素能和B的真子集元素一一对应，且A的元素不能和B的元素一一对应。
这样一来，三歧性就不会被破坏了。顺便说一下，这个三歧性为什么没有被破坏，这个结论是正确的，但是证明过程比较难，证明过程中最难的一部分被称为康托尔——伯恩斯坦定理。
就拿刚才的A是正偶数集，B是正整数集来说，我们就可以作出判断，根据我们以上这种对大小的定义方式，“A和B一样大”成立，“A比B小”“B比A小”都不成立。
传递性没有被破坏是易证的。
这里，我给出了两个“一样大”的无穷集合的例子。存不存在两个无穷集合A,B,使得按照上面的定义，A比B小呢？是存在的，比如令A为自然数集，令B为实数集，A就比B小。
就是说，A和B的元素无法一一对应。对于这个结论，康托尔给出了一个证明，被人们称为“对角线证明”。如果您有兴趣，可以追问，我愿意为您介绍。
现在，您可能会发现一些新的问题。比如说，这个A的元素和B的元素是可以一一对应的。但是，A的元素和B的元素也是可以“一，二”对应的。比如，A的2对应B的1,2,A的4对应B的3,4. 这似乎说明B的元素数目是A的两倍。
我说“似乎”，表明这句话不是准确的。50是数目，10000是数目，说B的数目，是多少呢，又不能一下子清楚地说出来。但是没关系。我们不把数目当做一个有意义的中文词，而把这句话整体看作一串符号。同样地，我们可以给“B有A的两倍那么大”这句话（说白了就是一串中文英文符号）赋予意义，这个意义就是“A的元素和B的元素可以‘一，二’对应”。
这样一来，我们会发现，“B有A的两倍那么大”，“A有B的10倍那么大”，这些话都成立了。
这不是乱套了吗？
其实不必担心。对于有穷非空集合A,B，上面这几句话是不能同时成立的，是互斥的。对无穷集合来说，这种“互斥”就不成立了。
在为无穷集合创建理论的过程中，我们或许希望有穷情形下成立的一些东西，能够依然成立。这种要求本身就不是必需的。对我们创建出的无穷集合的理论体系，其实我们已经够苛刻了：又是要求三歧性不被破坏，又是要求传递性不被破坏。现在如果还要求这种“互斥”不被破坏，也太不近人情了，而且是不合理的，因为做不到。既然这类要求本身就是苛刻的，我们现在也已经最大程度地让有穷情形下成立的东西在无穷情形下依然成立，就没什么好遗憾的了。毕竟有穷集合和无穷集合是两种不同的东西，就算有相似之处，也不能要求他们一摸一样。就像我们看到两个双胞胎，穿着同样的衣服，但是不能苛求他们考试的分数要完全相同。说到这里，希望能够解开您对无穷集合的一些疑惑，激发您进一步探究的兴趣。
存在大小，只是说他的具体大小没有办法度量。这是高等数学研究的范畴，德国的数学家康托曾经奠基了集合论，他用完美的数学证明过程证明了无穷到底是什么：无穷是无穷的。这是一个哲学层次的问题了，虽说无穷是无法度量的，但是有办法来比较他的相对大小。举个例子，在数轴上，0到1之间的数字多与整个整数集，多于整个实数集。
存在，事实上无穷是有端点的，无论是无穷大还是无穷小。无穷小是无穷大/'1'，而1是单位一 ，没有固定的，无穷大的2倍在那个单位是不存在的，但在另一个单位中无穷大的2倍=‘1’/无穷小的2倍=2乘“1”/无穷小。无穷小也是这个道理，它是最小的正数。
不存在
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