数学难题急求！！！

第一小问
画图，设半圆O的半径为R，小圆O1的半径为r
易知OC是AB的中垂线，由勾股定理可知AC=根号（AO平方+OC平方）=根号2*R
由题设可知小圆O1在四分之一圆COB内部，连结OG,GO1，易证两线段在同一直线上（因为圆O1与圆O相切与G，OG垂直圆O在G的切线，GO1垂直圆O1在G的切线，两圆相切，在切点的切线是同一条直线，同一条直线上过同一点G作垂线有且只有一条）
从而可设圆心连线OO1=OG-GO1=R-r
连结EO1,FO1，分别垂直OC,OB（圆切线性质），从而OO1平分角COB（线上一点O1到角两边距离相等），故三角形FOO1是等腰直角三角形，从而OO1=根号2*OF，明显四边形EO1FO是正方形，故OF=EO1=r
从而OO1=根号2*r
故R-r=根号2*r，得到R=（1+根号2）r
从而AC=根号2*（1+根号2）r=（2+根号2）r
AF=R+r==（1+根号2）r+r=（2+根号2）r
故AC=AF

第二小问，有难度，我喜欢，只怕过程有点繁琐你会不想看下去
设AD=x（x为变量，大于0小于2R，第一小问即为x=R时的特殊情况）
原理是一样的，我就假设x连结BC，易知角ACB=90°，在直角三角形ACB中由射影定理（这个懂吧？不懂的话看最后的补充说明）可得CD^2=AD*BD=x(2R-x)
从而AC^2=CD^2+AD^2=x(2R-x)+x^2=2Rx
故AC=根号（2Rx）
另一方面，由第一小问依然可得E、O1、O三点共线，从而在直角三角形OFO1中，OO1=R-r
O1F=r，故F0^2=OO1^2-O1F^2=（R-r）^2-r^2
线段AO中，FO=AO-AD-DF=R-x-r（四边形EO1FD仍是正方形）
故（R-x-r）=（R-r）^2-r^2，将其看作r的一元二次方程，化简可得
r^2+2xr+(x^2-2Rx)=0
直接用求根公式可得r=根号（2Rx）-x（舍去负根）
从而AF=AD+DF=x+r=根号（2Rx）=AC
证毕

补充说明：射影定理
直角三角形ABC（角C为90°）CD是AB边上的高，则
AC平方=AD*AB
BC平方=BD*AB
CD平方=AD*BD
原因是三个直角三角形ABC、ACD、BCD是相似的，对应边成比例列式即可得到定理证明

设x²+cx+a=o的两根为x1,
x2，x²+ax+b=0的两根为x1+1,
x2+1，则由韦达定理知x1+x2=-c,x1*x2=a,
x1+x2-2=-c-2=-a,(x1-1)*(x2-1)=x1*x2-(x1+x2)+1=a+c+1=b，所以-x1x2=x1+x2-2，则x2不为-1，所以x1=(2-x2)/(1+x2)=-(x2-2)/(x2+1)=3/(x2+1)-1，由于x1,x2为整数，所以3/(x2+1)为整数，则x2+1的值只可能为-3、-1、1、3，对应的x2的值为-4、-2、0、2，对应的x1的值为-2、-4、2、0，由x1、x2的对称性可知第一个方程的两个根对有两种可能，即为(-4，-2)或(0,2)，当取第一种情况时，c=6,
a=8,b=15,a+b+c=29，当取第二种情况时，a=0,c=-2,b=-1,a+b+c=-3，所以a+b+c的值为29或-3。

由x²+cx+a=0知，x1+x2=
-c
x1*x2=a
由x²+ax+b=0知，x1'+x2'=
-a=(x1+1)+(x2+1)=(x1+x2)+2=
-c+2
于是c=a+2
a-c=
-2
x1'*x2'=b=(x1+1)(x2+1)=x1*x2+(x1+x2)+1=
a-c+1
于是a-c=b-1
所以b-1=
-2
b=
-1
把c=a+2代入方程x²+cx+a=0得，x²+(a+2)x+a=0
于是x=
[-(a+2)±√(a²+4a+4-4a)]/2=[-(a+2)±√(a²+4)]/2
由于方程的根是整数，于是只有a=0根号才能开出整数来，这样可知，c=a+2=0+2=2
于是a+b+c=0-1+2=1
若将b=
-1代入方程x²+ax+b=0，得x²+ax-1=0
于是x=
[-a±√(a²+4)]/2，得出与上述同样的结论。
所以a+b+c=1