如何证一个周长一定的三角形,当它为等边三角形时面积最大?

2025-12-18 00:47:04
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回答1:

三角形三边分别为a,b,c 设c为底边 当a=b=c时h=c/2 所以S=1/2*h*c=(c*h)/2
当a,b,c不相等时h当底边一定时 等边三角形的高最大 所以 周长一定时等边三角形面积最大

回答2:

由海伦公式有:
S=√p(p-a)(p-b)(p-c)
p=(a+b+c)/2
周长一定即p是定值,有
所以S=√p*√(p-a)(p-b)(p-c)≤√p*√{[(p-a)+(p-b)+(p-c)]/3}^(1/3)=√p*(p/3)^(1/6)
当p-a=p-b=p-c时取得最大值
a=b=c
当它为等边三角形时面积最大